使用ChatGPT学习数列的学生

目录

I. 概述和初步说明

在这篇文章中,我将介绍OpenAI的ChatGPT如何帮助你学习数学数列。我展示了ChatGPT在与数列相关的7个典型主题中的13个应用示例。当然,你可以根据自己的需要自行调整对ChatGPT的查询,例如请求解决任何数列相关的问题。

阅读本文前你需要具备的条件

  • 访问ChatGPT,最好是第4版,这篇文章基于该版本编写

教学水平

  • 高中
  • 大学

II. 计算数列项

示例1 – 直接给出题目的答案

计算数列的第七项,其公式为 a_n = {(-1)^n}n^2+3

提示

ChatGPT非常擅长解释文本。
用你自己的语言向它提问,使用口语,不用太在意标点和拼写。

ChatGPT可以很好地解决这种示例问题:

You
 计算数列的第七项 ((-1)^n)*n^2+3 复制
  
ChatGPT
 数列 (-1)^n \cdot n^2 + 3 的第七项是 -46
  

示例2 – 请求解释

在得到结果后,你可以请求解释,ChatGPT在这方面做得相当不错:

You
 计算数列的第七项 ((-1)^n)*n^2+3 复制
  
ChatGPT
 数列 (-1)^n \cdot n^2 + 3 的第七项是 -46
  
You
 你是怎么得到这个结果的?请解释一下。 复制
  
ChatGPT
 要计算数列 ((-1)^n) \cdot n^2 + 3 的第七项,我们需要代入 n = 7,因为我们要找的是第七项。这个公式包含两个部分:
第一部分 是 (((-1)^n) \cdot n^2),这意味着我们将 latex[/latex] 提升到 n 的幂次(在这种情况下是 7),然后将其乘以 n 的平方,即 7^2。提升到奇数次幂的 (-1) 始终为 (-1),而 7 的平方是 49。所以 (-1) \cdot 49 得到 -49。第二部分 是将 3 加到第一部分的结果中,这意味着我们将 3 加到 -49

综上所述,计算如下: (-1)^7 \cdot 7^2 + 3 = -1 \cdot 49 + 3 = -49 + 3 = -46

因此,第七项的值是 -46

  

示例3 – 请求带解释的结果

公式为 a_n = n^2 – 36 的数列有多少个负数项?

You
 公式为 a_n = n^2-36 的数列有多少个负数项?请解释你是怎么得到结果的。 复制
  
ChatGPT
 公式为 a_n = n^2 – 36 的数列是一个平方数列,其中每一项等于自然数 n 的平方减去36。要确定这个数列中有多少负数项,我们需要找出哪些 n 值使得数列项 a_n 小于0,即 n^2 – 36 < 0
二次方程 n^2 – 36 = 0 有两个解,它们对应着数列从负到正或反之的转折点。我们解这个方程:n^2 – 36 = 0n^2 = 36n = \pm6

这意味着,当 n 小于6且大于-6时,数列项 a_n 将为负数。但是,因为我们在这个数列中只使用自然数 n,所以我们只关心 n 从1到5的值,因为 n = 0n \geq 6 的项是非负数的。因此,这个数列中有5个负数项,它们的 n 值是从1到5。

  

III. 数列的单调性

示例4 – 请求带解释的结果

就像往常一样,你可以随时请求ChatGPT解决问题。

给定数列 a_n = n^2 – 4n,其中 n \ge 4。请检查该数列的单调性。

You
 给定数列 a_n = n^2 – 4n,其中 n >= 4。请检查该数列的单调性。 复制
  
ChatGPT
 要检查数列 a_n = n^2 – 4n 的单调性,我们需要计算连续两项的差。如果这个差值总是正的,那么数列是递增的;如果总是负的,那么数列是递减的;如果差值为零,那么数列是常数。
连续两项的差值为:a_{n+1} – a_n = [(n+1)^2 – 4(n+1)] – (n^2 – 4n)简化这个差值以确定其符号。看起来在简化这个差值时遇到了一些技术问题。让我们尝试以另一种方式计算。直接计算 a_{n+1}a_n 的差值:a_{n+1} – a_n = [(n+1)^2 – 4(n+1)] – (n^2 – 4n)代入并手动简化:a_{n+1} – a_n = (n^2 + 2n + 1 – 4n – 4) – (n^2 – 4n)
a_{n+1} – a_n = n^2 + 2n + 1 – 4n – 4 – n^2 + 4n
a_{n+1} – a_n = 2n + 1 – 4
a_{n+1} – a_n = 2n – 3现在我们看到,连续两项的差值是 2n – 3。要检查单调性,我们需要确定这个差值是否总是正的,负的,或者在不同的 n 值下变化,但要记住 n \ge 4
对于 n \ge 4,表达式 2n – 3 总是正的(因为对于 n = 42n – 3 = 8 – 3 = 5,这是正数,并且增加 n 只会增加这个值)。因此,数列 a_n = n^2 – 4n 对于 n \ge 4 是递增的。
  

示例5 – 自行解决问题的练习

You
 请为我提供5个关于检查数列单调性的练习示例 复制
  
ChatGPT
 以下是五个数列的例子,请自行检查它们的单调性:
等差数列: a_n = 3n + 2。检查这个数列的单调性。等比数列: a_n = 2 \cdot 3^n。确定这个数列是递增的、递减的还是常数。

含二次函数的数列: a_n = n^2 – 2n。检查这个数列在 n 增加时的变化。

含绝对值的数列: a_n = |n – 5|。根据 n 的值确定这个数列的单调性。

含指数函数和线性函数的数列: a_n = 2^n – n。根据 n 的变化检查这个数列是递增的、递减的还是常数。

在检查每个数列的单调性时,关键是要理解连续两项的差值是如何变化的 (a_{n+1} – a_n),或者如果将数列视为连续函数,其一阶导数是如何变化的。提示:找到 a_{n+1} – a_n 的差值公式并检查其符号可能会很有帮助。

  

IV. 递归数列

示例6 – 一般理论问题

你可以请求ChatGPT解释一些数学概念:

You
 什么是递归数列?请解释一下。 复制
  
ChatGPT
 递归数列是这样的数列:每一项是根据前一项或几项通过某种规则(称为递归公式)定义的。换句话说,要计算数列中的某一项,你必须参考该数列的前几项。
递归数列需要给出一个或多个初始项(初始条件)以及递归公式,后者确定如何根据前一项或几项来计算每一项。这样可以从已知的初始值一步步生成数列。递归数列的示例:

斐波那契数列:这是最著名的递归数列之一,每一项是前两项的和。其递归公式为 F_n = F_{n-1} + F_{n-2},初始条件为 F_1 = 1F_2 = 1
等差数列和等比数列:它们也可以用递归形式表示,其中每一项分别是前一项加一个常数或乘一个常数。
通过其他运算定义的数列:例如,每一项是前几项的算术平均值、中位数或其他函数值的数列。
递归数列在计算机科学和数学中非常有用,用于建模每一步或状态都依赖于前一步或状态的现象,如递归算法、生物模型中的种群演变数列,或在金融领域用于模拟不同的投资情景。

  

示例7 – 实际问题

你也可以询问一些实际计算相关的问题:

You
 实际中如何计算递归数列?有何方法? 复制
  
ChatGPT
 

在实际中计算递归数列,通常是一步步应用递归公式,从一个或多个初始项开始。有几种方法可以用来计算递归数列,取决于数列的特性和可用的工具:

1. **迭代方法**:

这是最直接的方法,通过使用递归公式逐项计算数列,通常需要编写一个循环,在代码中逐项计算新的值,利用前一项或几项的值。

2. **使用电子表格**:

还可以使用电子表格(如Excel),在每一个单元格中输入公式,引用前一单元格的值,从而逐项计算数列。

3. **解析方法**:

对于某些类型的递归数列,存在方法可以找到数列的显式公式,无需计算所有前面的项。例如,可以使用Binet公式计算斐波那契数列的项。

4. **递归编程**:

在编程中,递归是一种函数调用自身的技术。它可以用来计算递归数列的项,特别是当递归公式自然描述了这样一个自调用的结构时。然而,需要注意递归的深度,以防止超过可用的堆栈内存。

5. **使用数学软件**:

像MATLAB、Mathematica或Python(以及NumPy、SciPy库)这样的工具允许高效地计算递归数列,提供了迭代和解析方法,以及处理递归的高级功能。
选择方法时,需要考虑数列的复杂性、可用资源(如软件)以及计算的目的。迭代方法和递归编程是通用的,但对于大 n 或存在显式公式的情况,它们可能效率较低。解析方法和使用专业软件对于复杂问题和大型数列是首选。

  

示例8 – 计算机程序代码

You
 已知递归数列 a_n 的公式为 a_1 = 1, a_(n+1) = 10 – 2a_n。用Python编写代码计算该数列的第250项。 复制
  
ChatGPT
 

看起来在执行计算时遇到了技术问题。不过,我可以向你展示如何在自己的计算机上编写并运行类似的代码。以下是Python代码示例,用于计算递归数列 a_1 = 1, a_{n+1} = 10 – 2a_n 的第250项:

def compute_nth_term(n): a_n = 1
# 初始条件
for _ in range(1, n):
a_n = 10 – 2*a_n
# 递归公式
return a_n
# 计算第250项
nth_term = compute_nth_term(250)
print(nth_term)

这段代码定义了一个函数 `compute_nth_term`,该函数使用给定的递归公式计算数列的第 n 项。然后调用该函数来计算 n = 250 的结果并显示输出。如果你想知道该数列的第250项,可以在你的编程环境中运行这段代码。

  

V. 等差数列

示例9 – 公式

You
 请给出计算等差数列相关的公式。 复制
  
ChatGPT
 

等差数列是最简单的数列之一,其中相邻两项之间的差是常数。以下是一些计算等差数列的基本公式:

1. **等差数列的第 n 项公式**:

a_n = a_1 + (n – 1)d
其中:
a_n 是数列的第 n 项,
a_1 是数列的第一项,
d 是数列的公差(每项与前一项的差值),
n 是项的序号。

2. **前 n 项的和公式**:

S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n – 1)d\right)
或者等价地:
S_n = \frac{n}{2} \left(a_1 + a_n\right)
其中:
S_n 是前 n 项的和,
– 其余符号的意义与上述相同。
这两个基本公式可以解决大多数与等差数列相关的问题,比如找到数列的某一项、计算数列的和,或者根据给定项来确定数列的性质。

  

VI. 等比数列

示例10 – 在”真实世界”中的应用


等比数列在现实世界中有哪些应用?它们在哪些领域使用?复制
You
  
ChatGPT
 

等比数列的特点是,除了第一项之外,数列的每一项都是前一项乘以一个常数(称为公比)。它们在科学、技术、金融和日常生活中的应用非常广泛。以下是一些实际应用的例子:

1. **金融和经济**:

– 计算复利,其中存款或贷款的金额在每个周期增长固定的百分比。
– 模拟经济增长或通货膨胀的变化。
– 分析投资,包括未来现金流或年金的价值。

2. **生物学和医学**:

– 模拟种群在环境中的增长,其中下一代的个体数与现有个体数成比例。
– 模拟流行病的传播,在初期阶段感染人数可能呈指数增长。

3. **物理学和化学**:

– 计算放射性衰变,其中物质的量在每个半衰期减少固定的百分比。
– 声学和光学现象,例如根据几何衰减定律,光或声音在介质中的强度衰减。

4. **计算机科学**:

– 复杂度为对数或指数的算法,其中运行时间是输入数据大小的几何函数。
– 在树状结构(如二叉树)中存储数据,其中每层的节点数按几何级数增长。

5. **技术和工程**:

– 信号和系统分析,其中信号的衰减或增强模式可以用等比数列建模。
– 电气和声学网络的设计,其中元件(如电阻、电容)的值可以按等比数列排列,以优化特性。
等比数列非常适用于建模按比例增长或减少的过程,因此它们是许多科学和技术领域的重要工具。

  

示例11 – 应用题

ChatGPT 非常擅长解决应用题:

马雷克用尽全力将球踢向空中。球上升后落下并反弹。计算球在第四次反弹时上升的高度,已知第一次上升了10米,此后每次反弹的高度是前一次的一半。

You
 解决应用题:
马雷克用尽全力将球踢向空中。球上升后落下并反弹。计算球在第四次反弹时上升的高度,已知第一次上升了10米,此后每次反弹的高度是前一次的一半。 复制
  
ChatGPT
 要计算球在第四次反弹时的上升高度,我们可以利用球每次反弹高度是前一次的一半这一事实。这意味着我们处理的是一个等比数列,其中第一项 a_1 = 10 米,公比 q = \frac{1}{2}
等比数列的第 n 项的公式如下:
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

我们需要找到 a_4,所以代入 n = 4a_1 = 10q = \frac{1}{2}
a_4 = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-1}

让我们计算一下。

看起来在执行计算时遇到了技术问题。不过,我们可以通过手工计算来解决:

a_4 = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10 \cdot \frac{1}{8} = 1.25

这意味着球在第四次反弹时上升的高度是1.25米。

  

VII. 数列的极限

示例12 – 请确认我的计算

你可以向 ChatGPT 提供你的计算结果,并请他进行验证:

计算数列 {a}_{n} = \sqrt[n]{2^n+3^n+4^n} 的极限。

You
 解决应用题:
在用三数列定理计算 (2^n+3^n+4^n)^(1/n) 的极限时,我选择了下限数列 (4^n)^(1/n) 和上限数列 (4^n+4^n+4^n)^(1/n)。我的选择正确吗? 复制
  
ChatGPT
 是的,你使用三数列定理的方法在这个题目中是正确的。该定理指出,如果数列 b_n 被下限数列 a_n 和上限数列 c_n 所夹住,并且在 n 趋近于无穷大的时候,数列 a_nc_n 的极限相等,那么数列 b_n 也会收敛到相同的极限。
在你的情况下,数列给出的公式是:
\left(2^n + 3^n + 4^n\right)^{\frac{1}{n}}

你选择的下限数列是:
\left(4^n\right)^{\frac{1}{n}} = 4

以及上限数列:
\left(4^n + 4^n + 4^n\right)^{\frac{1}{n}} = \left(3 \cdot 4^n\right)^{\frac{1}{n}} = 3^{\frac{1}{n}} \cdot 4

计算这两个数列的极限,当 n \to \infty 时,我们得到:

对于下限数列:
\lim_{n \to \infty} 4 = 4

对于上限数列:
\lim_{n \to \infty} 3^{\frac{1}{n}} \cdot 4 = 4

因为两个数列的极限相等,且都等于4,所以根据三数列定理,数列的极限为:
\lim_{n \to \infty} \left(2^n + 3^n + 4^n\right)^{\frac{1}{n}}
也等于4。

因此,你的思路是正确的。你选择了合适的夹逼数列,从而找到了数列的极限。

  

示例13 – ChatGPT 的错误

不幸的是,ChatGPT 并不是一个完美的工具。它可能会出错,尤其是在较复杂的计算中。

计算数列 a_n = \frac{5^n-2^n+10^n}{11^n+5^n} 的极限。

You
 在逐步计算数列极限时,我进行了以下转换: lim_(n->oo) (5^n-2^n+10^n)/(11^n+5^n) = lim_(n->oo) (10^n((5/10)^n-(2/10)^n+1)/(11^n(1+(5/11)^n)) 。这个转换正确吗? 复制
  
ChatGPT
 你在计算数列极限时所做的转换,尝试通过提取分子和分母中 n 的最大指数来简化表达式,这是计算含指数表达式极限的常用方法。然而,我们需要检查这个转换的正确性。
原始表达式是:
\lim_{n \to \infty} \frac{5^n – 2^n + 10^n}{11^n + 5^n}

转换为:
\lim_{n \to \infty} \frac{10^n \left(\left(\frac{5}{10}\right)^n – \left(\frac{2}{10}\right)^n + 1\right)}{11^n \left(1 + \left(\frac{5}{11}\right)^n\right)}

在提取分子中 10^n 的公因数时,你没有正确处理 5^n2^n 的系数,同时在简化分母时提取 11^n 的公因数时也没有保持一致。

正确的方法是要同时考虑分子和分母中的最大指数,以便能进行极限分析。在这种情况下,分子中的最大指数是 10^n,而分母中的最大指数是 11^n。正确的转换应该是明确提取这些项并适当简化其余部分,例如:

\lim_{n \to \infty} \frac{10^n + 5^n – 2^n}{11^n + 5^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{10^n}{11^n} + \frac{5^n}{11^n} – \frac{2^n}{11^n}\right)

然后分别分析每个成分。然而,你的转换在公因数提取和表达式简化时存在错误。正确的方向是考虑每个成分相对于表达式中最大指数的相对大小,即比较每个成分与 10^n11^n,并分析它们在 n 趋于无穷大时的行为。

  

提示

是的,ChatGPT 可能会犯错误。更危险的是,它不会承认错误。相反,它可能会编造答案。因此,你不能完全依赖它。
除了 ChatGPT,还可以使用数学计算器和应用程序,例如 WolframAlphaMathKiwi

我的转换是正确的,尽管 ChatGPT 说它不正确
更糟糕的是,它试图通过不清楚和冗长的论点来支持其推理,也就是说,它”幻觉”了。

参考文献

在撰写本文时,我参考了以下资料:

Picture of Krystian Karczyński

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisów matematycznych MathKiwi i eTrapez. Absolwent Matematyki na Politechnice Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce. Mieszka w Szczecinie, w Polsce. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

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