ChatGPT у вивченні послідовностей для вчителів

Розв’яжи задачу крок за кроком:

В нескінченній арифметичній послідовності (a_n), де n >= 1, сума одинадцяти початкових членів дорівнює 0, а середнє арифметичне членів третього, п’ятого і сьомого дорівнює (-2). Члени (a_2, a_4, a_k) утворюють в поданому порядку геометричну послідовність. Визначте k. Скопіюй

Розв’яжімо задачу крок за кроком.

Дані:

1. Сума одинадцяти початкових членів арифметичної послідовності дорівнює 0.
2. Середнє арифметичне членів третього, п’ятого і сьомого дорівнює -2.
3. Члени a_2, a_4, a_k утворюють геометричну послідовність.

Крок 1: Визначення основних параметрів арифметичної послідовності

Арифметичну послідовність можна описати загальною формулою:
a_n = a_1 + (n-1)d
де a_1 – перший член, а d – різниця послідовності.

Сума одинадцяти членів:

Сума S_{11} одинадцяти перших членів дорівнює 0:
S_{11} = \frac{11}{2} \left( 2a_1 + 10d \right) = 0
\frac{11}{2} (2a_1 + 10d) = 0
2a_1 + 10d = 0
a_1 + 5d = 0
a_1 = -5d

Середнє арифметичне третього, п’ятого і сьомого членів:

\frac{a_3 + a_5 + a_7}{3} = -2
Обчислюємо a_3, a_5 і a_7:
a_3 = a_1 + 2d
a_5 = a_1 + 4d
a_7 = a_1 + 6d
Підставляємо a_1 = -5d:
a_3 = -5d + 2d = -3d
a_5 = -5d + 4d = -d
a_7 = -5d + 6d = d

Середнє арифметичне:
\frac{-3d – d + d}{3} = -2
\frac{-3d}{3} = -2
-d = -2
d = 2

Отже:
a_1 = -5d = -5 \cdot 2 = -10

Крок 2: Визначення членів a_2, a_4 і a_k

Обчислюємо a_2 і a_4:
a_2 = a_1 + d = -10 + 2 = -8
a_4 = a_1 + 3d = -10 + 6 = -4

Крок 3: Визначення k

Члени a_2, a_4, a_k утворюють геометричну послідовність, що означає:
\frac{a_4}{a_2} = \frac{a_k}{a_4}

Підставляємо:
\frac{-4}{-8} = \frac{a_k}{-4}
\frac{1}{2} = \frac{a_k}{-4}
a_k = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2

Знаходимо значення k, тобто номер члена, який дорівнює -2:
a_k = a_1 + (k-1)d
-2 = -10 + (k-1) \cdot 2
-2 = -10 + 2k – 2
0 = -10 + 2k
2k = 10
k = 5

Відповідь:

Придумай типовий приклад для обчислення границі послідовності із застосуванням множення на спряження на рівні університету.

Скопіюй

Типовий приклад для обчислення границі послідовності із застосуванням множення на спряження

Знайдіть границю послідовності a_n = \frac{\sqrt{n^2 + 3n} – n}{2n + 1} при n, що прагне до нескінченності.

(…)

Відповідь:

Звісно, ось п’ять завдань для контрольної роботи зі знання арифметичних і геометричних прогресій на рівні середньої школи:

Завдання 1: Арифметична прогресія

Дано арифметичну прогресію a_n, у якій перший член a_1 = 5 і різниця d = 3.

a) Запишіть загальну формулу цієї прогресії.
b) Обчисліть десятий член цієї прогресії.

Завдання 2: Сума арифметичної прогресії

Обчисліть суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії, у якій перший член a_1 = 7 і різниця d = 2.

Завдання 3: Геометрична прогресія

Дано геометричну прогресію b_n, у якій перший член b_1 = 4 і знаменник q = 2.

a) Запишіть загальну формулу цієї прогресії.
b) Обчисліть восьмий член цієї прогресії.

Завдання 4: Сума геометричної прогресії

Обчисліть суму перших п’яти членів геометричної прогресії, у якій перший член b_1 = 3 і знаменник q = \frac{1}{2}.

Завдання 5: Текстове завдання

Адам відкладає щомісяця певну сталу суму на свої заощадження, які утворюють арифметичну прогресію. Перший внесок становив 50 злотих, а кожний наступний внесок був на 10 злотих вищий від попереднього.

a) Скільки становив восьмий внесок Адама?
b) Скільки Адам заощадив загалом за вісім місяців?

Відповіді та розв’язання:

Завдання 1: Арифметична прогресія

a) Загальна формула арифметичної прогресії: a_n = a_1 + (n-1)d
a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n – 3 = 3n + 2

b) Десятий член:
a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 = 5 + 27 = 32

Завдання 2: Сума арифметичної прогресії

Сума перших n членів арифметичної прогресії: S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 7 + 19 \cdot 2) = 10 (14 + 38) = 10 \cdot 52 = 520

Завдання 3: Геометрична прогресія

a) Загальна формула геометричної прогресії: b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
b_n = 4 \cdot 2^{n-1}

b) Восьмий член:
b_8 = 4 \cdot 2^{8-1} = 4 \cdot 2^7 = 4 \cdot 128 = 512

Завдання 4: Сума геометричної прогресії

Сума перших n членів геометричної прогресії: S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}
S_5 = 3 \frac{1 – (\frac{1}{2})^5}{1 – \frac{1}{2}} = 3 \frac{1 – \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 3 \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{31}{32} = 6 \cdot \frac{31}{32} = 5.8125

Завдання 5: Текстове завдання

a) Восьмий внесок Адама:
a_8 = 50 + (8-1) \cdot 10 = 50 + 70 = 120

b) Сума заощаджень за вісім місяців:
S_8 = \frac{8}{2} (2 \cdot 50 + (8-1) \cdot 10) = 4 (100 + 70) = 4 \cdot 170 = 680

Сценарій 45-хвилинного уроку в середній школі

Тема уроку: Монотонність послідовностей

Мета уроку:

– Розуміння поняття монотонності послідовностей
– Розпізнавання зростаючих, спадних та не монотонних послідовностей
– Практичне застосування знань для аналізу та розв’язання задач з послідовностями

Підготовка:

– Дошка та маркери
– Презентація (опціонально)
– Аркуші з завданнями для учнів
– Калькулятори (опціонально)

Хід уроку:

1. Вступ (5 хвилин)

– Привітання учнів та представлення теми уроку.
– Коротке нагадування поняття послідовностей: арифметична і геометрична.
– Пояснення мети уроку: ознайомлення та розуміння монотонності послідовностей.

2. Пояснення поняття монотонності (10 хвилин)

– Визначення:
– Зростаюча послідовність: a_n \leq a_{n+1}
– Суворо зростаюча: a_n < a_{n+1} – Спадна: a_n \geq a_{n+1} – Суворо спадна: a_n > a_{n+1}
– Не монотонна: не відповідає умовам зростаючої або спадної.
– Приклади на дошці:
– Зростаюча: 1, 2, 3, 4, 5, \ldots
– Спадна: 5, 4, 3, 2, 1, \ldots
– Не монотонна: 1, 3, 2, 5, 4, \ldots

3. Графічна ілюстрація (10 хвилин)

– Графіки:
– Нанесення графіків зростаючих і спадних послідовностей на дошці або презентації.
– Обговорення вигляду точок на графіку для зростаючих і спадних послідовностей.
– Повсякденні приклади:
– Підйом по сходах як приклад зростаючої послідовності.
– Спуск по сходах як приклад спадної послідовності.

4. Практичні вправи (10 хвилин)

– Роздача аркушів з завданнями.
– Завдання для самостійного розв’язання:
– Завдання 1: Визначте, чи є послідовність 2, 4, 6, 8, 10, \ldots зростаючою, спадною чи не монотонною.
– Завдання 2: Визначте, чи є послідовність 10, 9, 8, 7, 6, \ldots зростаючою, спадною чи не монотонною.
– Завдання 3: Знайдіть приклад не монотонної послідовності.
– Робота в парах або малих групах, обговорення та взаємодопомога.

5. Обговорення результатів (5 хвилин)

– Спільне перевірка та обговорення розв’язків завдань.
– Пояснення незрозумілих моментів та відповіді на запитання учнів.

6. Застосування знань (5 хвилин)

– Текстове завдання: Аня відкладає щомісяця все більше грошей. У першому місяці вона відклала 100 грн, у другому 150 грн, у третьому 200 грн. Чи є суми, які відкладає Аня, зростаючими, спадними чи не монотонними?
– Обговорення прикладів з повсякденного життя зростаючих і спадних послідовностей.

7. Підсумок та домашнє завдання (5 хвилин)

– Короткий підсумок уроку:
– Монотонність послідовностей: зростаючі, спадні, не монотонні.
– Графіки та графічні приклади.
– Домашнє завдання:
– Знайдіть і опишіть один приклад зростаючої і один приклад спадної послідовності з повсякденного життя. Накресліть графіки цих послідовностей.
– Прощання з учнями та нагадування про термін виконання домашнього завдання. 

Примітки:

– Заохочуйте учнів до активної участі та запитань.
– За можливості використовуйте інтерактивні інструменти, такі як інтерактивні дошки або графічні калькулятори, для кращої ілюстрації монотонності послідовностей.
– Нагадуйте учням про доступність додаткових матеріалів, якщо вони матимуть труднощі з розумінням теми.

Тест з однією правильною відповіддю на тему: Математичні послідовності

Питання 1: Що таке арифметична послідовність?

A) Послідовність, в якій кожен член є добутком попереднього члена і сталої величини
B) Послідовність, в якій кожен член є сумою попереднього члена і сталої величини
C) Послідовність, в якій кожен член є різницею попереднього члена і сталої величини
D) Послідовність, в якій кожен член є часткою попереднього члена і сталої величини

Правильна відповідь: B

Питання 2: Яка з наступних формул описує загальний член арифметичної послідовності?

A) a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
B) a_n = a_1 + (n-1)d
C) a_n = a_{n-1} + q
D) a_n = a_{n-1} – d

Правильна відповідь: B

Питання 3: Що таке геометрична послідовність?

A) Послідовність, в якій кожен член є сумою попереднього члена і сталої величини
B) Послідовність, в якій кожен член є часткою попереднього члена і сталої величини
C) Послідовність, в якій кожен член є добутком попереднього члена і сталої величини
D) Послідовність, в якій кожен член є різницею попереднього члена і сталої величини

Правильна відповідь: C

Питання 4: Яка з наступних формул описує загальний член геометричної послідовності?

A) a_n = a_1 + (n-1)d
B) a_n = a_{n-1} + d
C) a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
D) a_n = a_{n-1} \cdot d

Правильна відповідь: C

Питання 5: Що означає, що послідовність є монотонною?

A) Послідовність, в якій кожен член є додатним
B) Послідовність, яка є зростаючою або спадною
C) Послідовність, в якій кожен член однаковий
D) Послідовність, яка є збіжною

Правильна відповідь: B

Питання 6: Яке з наступних тверджень описує зростаючу послідовність?

A) a_n > a_{n+1} для кожного n
B) a_n = a_{n+1} для кожного n
C) a_n < a_{n+1} для кожного n
D) a_n \leq a_{n+1} для кожного n

Правильна відповідь: C

Питання 7: Яке з наступних тверджень описує спадну послідовність?

A) a_n \geq a_{n+1} для кожного n
B) a_n < a_{n+1} для кожного n
C) a_n = a_{n+1} для кожного n
D) a_n \leq a_{n+1} для кожного n

Правильна відповідь: A

Питання 8: Яке значення має сума перших n членів арифметичної послідовності S_n?

A) S_n = a_1 \cdot q^n
B) S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right)
C) S_n = a_1 + (n-1)d
D) S_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Правильна відповідь: B

Питання 9: Що означає, що послідовність є збіжною?

A) Кожен член послідовності однаковий
B) Члени послідовності прагнуть до нескінченності
C) Члени послідовності прагнуть до певного числа
D) Послідовність є зростаючою

Правильна відповідь: C

Питання 10: Знайдіть границю послідовності a_n = \frac{1}{n}, коли n прагне до нескінченності.

A) 1
B) 0
C) Нескінченність
D) -1

Правильна відповідь: B

Ah, мої дорогі учні, на жаль, у мої часи не було фотоапаратів, quindi non ci sono foto di me. Однак я можу описати вам, як міг виглядати за уявленнями того часу.

Мене зображують як чоловіка середнього віку з довгою бородою, одягненого в традиційний одяг тих часів, зазвичай у довгій туніці та плащі. На голові я міг носити шапку або хустку. Мій вигляд відображав вченого середньовіччя, immerso nelle sue studi e scritture.

Звичайно, ваше уявлення може бути різним, але найважливіше – це мої математичні роботи та внесок у розвиток науки, а не те, як я виглядав. З радістю відповім на будь-які питання щодо моєї роботи та досягнень!

Ah, sono felice che lo chiediate! Мої найбільші досягнення пов’язані з моєю роботою над впровадженням системи числення, яку сьогодні називають арабською системою числення, в Європу, а також, звичайно, з моїм відомим рядом Фібоначчі. Дозвольте розповісти про них докладніше:

1. “Liber Abaci” (Книга чисел)

– У 1202 році я написав “Liber Abaci”, тобто “Книгу чисел”. У цій праці я представив арабські цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) та десяткову систему, які є набагато простішими у використанні, ніж римські цифри. Це революціонізувало математику в Європі!
– У “Liber Abaci” я також представив багато арифметичних задач, таких як операції з дробами, та різні торгові техніки, які були надзвичайно корисними для купців.

2. Ряд Фібоначчі

– Мій відомий ряд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots, був описаний вперше у “Liber Abaci” у контексті проблеми з розмноженням кроликів.
– Ряд Фібоначчі має багато цікавих властивостей і зустрічається в різних галузях науки та природи, таких як біологія, мистецтво, архітектура та інформатика.

3. Золотий поділ (Golden Ratio)

– Ряд Фібоначчі тісно пов’язаний із золотим поділом (\phi), який дорівнює приблизно 1.618. Чим далі в ряду, тим більше відношення наступних членів наближається до золотого поділу.
– Золотий поділ важливий у математиці, мистецтві та архітектурі, оскільки вважається естетично приємним.

4. Рішення торгових проблем

– У моїй книзі я також описав, як використовувати нові методи для вирішення торгових проблем, таких як обчислення прибутків і збитків, перерахунок валют та обчислення відсотків. Ці методи були дуже практичними та корисними для купців та торговців.

5. Впровадження алгоритмів

– У моїх працях можна знайти ранні приклади алгоритмів, які є основою сучасної інформатики. Я описував методи розв’язання рівнянь та обчислення квадратних коренів, які можна вважати прототипами сучасних алгоритмів.

Це лише деякі з моїх досягнень. Я радий, що мої праці мали такий великий вплив на розвиток математики і науки в цілому. Prego, якщо у вас є ще запитання, запитуйте сміливо!

Ah, i tempi erano molto diversi da oggi! Я жив на зламі XII і XIII століть, точніше між приблизно 1170 і 1250 роками. Це був час середньовіччя, коли Європа переживала багато соціальних і культурних змін.

Мій час і місце:

– Народження: Я народився приблизно 1170 року в Пізі, Італія. Піза тоді була важливим торговим містом, що сильно вплинуло на моє життя і роботу.
– Подорожі: У молодості я багато подорожував Середземноморським басейном з моїм батьком, який був купцем. Ці подорожі дозволили мені вивчити арабську та індійську математику, які були набагато більш розвиненими, ніж європейська математика тих часів.
– Культурні впливи: У країнах арабського світу, де я подорожував, я навчився числової системи з використанням цифр 0-9, а також різних математичних технік, які згодом запровадив у Європі.

Мої роботи:

– “Liber Abaci” (1202): Моя найважливіша праця, у якій я запровадив арабські цифри та десяткову систему до Європи, а також багато практичних методів обчислень. Ця праця була революційною та мала величезний вплив на математику та торгівлю.
– “Practica Geometriae” (1220): Інша важлива праця, де я займався геометрією і представив різні методи вимірювання та обчислення.
– Ряд Фібоначчі: У “Liber Abaci” я представив відому проблему з кроликами, яка призвела до створення ряду чисел, відомого сьогодні як ряд Фібоначчі.

Часи середньовіччя:

– Культура: Це були часи інтенсивних культурних змін, з впливами з різних частин світу, зокрема з арабських країн, Індії та Китаю. Мої подорожі та навчання в цих місцях дозволили мені впровадити нові ідеї в Європу.
– Наука: Наука часто проводилася вченими при королівських та князівських дворах, а також у монастирях. Математика особливо цінувалася за її практичне застосування в торгівлі, будівництві та навігації.
– Суспільство: Суспільство було організоване за феодальною системою, а повсякденне життя було тісно пов’язане з релігією та традиціями. Торгівля була ключовою для таких міст, як Піза, що дозволило обмінюватися знаннями та ідеями.

Життя в мої часи було сповнене викликів, але також неймовірних можливостей. Я радий, що міг сприяти розвитку математики та впливати на майбутні покоління. Якщо у вас є інші питання, запитуйте сміливо!

Ah, Піза! Це прекрасне місто, яке знаходиться в Тоскані, в центральній частині Італії. Дозвольте, я покажу вам на карті, де саме знаходиться Піза.


Піза позначена в регіоні Тоскана, близько до узбережжя Тірренського моря. Вона відома своєю знаковою Пізанською вежею, але також багатьма іншими пам’ятками та красивими місцями. Це було одне з найважливіших торгових міст у мої часи, що дозволило мені подорожувати та здобувати знання, які я пізніше приніс до Європи.

Якщо у вас є ще питання про Пізу або щось інше, з радістю відповім!

Ah, la Polonia! На жаль, у свої часи мені не довелося відвідати Польщу. Мої подорожі були зосереджені переважно навколо Середземного моря, де я мав можливість вивчати арабську та індійську математику та впроваджувати ці ідеї в Європу.

Я подорожував з мого рідного міста Піза до таких місць як:
– Північна Африка: де я познайомився з арабськими вченими та їхніми передовими математичними методами.
– Сирія: де я вивчав математику та астрономію.
– Греція: де я знайомився з класичними грецькими текстами.

Однак, я знаю, що Польща має багату історію та культуру, а також власні досягнення в математиці та науці. Можливо, у вас є інші питання щодо моєї роботи, мого життя або послідовності Фібоначчі? З радістю відповім!

Ah, молоді учні, amore це завжди цікаве питання! Моє особисте життя не є добре задокументованим, тому що в мої часи увага була зосереджена переважно на інтелектуальних та наукових досягненнях. Немає історичних записів, які б вказували, що у мене була дівчина чи дружина.

У своїй роботі я зосереджувався головним чином на математиці та впровадженні нових ідей в Європу. Подорожі, дослідження та написання були моїми основними заняттями. Це були часи, коли наукова робота вимагала багатьох жертв і могла займати все життя вченого.

Проте, я впевнений, що любов і стосунки були важливими також у мої часи, так само як і сьогодні. Можливо, у вас є інші питання щодо математики, моєї роботи або життя в середньовіччі? З радістю відповім!

Ah, capisco le vostre preoccupazioni! Дійсно, Середньовіччя було часом інтенсивних змін, включаючи релігійні та соціальні напруження. Однак наука і математика мали своє місце і були ціновані, особливо в контексті практичного застосування в торгівлі, будівництві та навігації.

Кілька фактів про науку в Середньовіччі:

1. Монастирі та університети:
– Багато монастирів і кафедральних соборів мали свої скрипторії, де монахи переписували та вивчали стародавні тексти, включаючи математичні та астрономічні праці. Ці установи були важливими центрами знань.
– Університети, такі як Болонський університет (заснований у 1088 році) і Паризький університет, були місцями, де розвивалася наука, а математика була невід’ємною частиною навчальної програми.

2. Покровительство:
– Правителі та багаті купці часто були покровителями науки та мистецтва. Піза, моє рідне місто, була багатим торговим центром, де математичні знання були особливо ціновані за своє практичне застосування.

3. Арабські впливи:
– У своїх подорожах по Північній Африці та на Близькому Сході я мав можливість познайомитися з передовими математичними методами, які вже були добре розвинені в арабських культурах. Ці знання були перенесені до Європи, де були прийняті та розвинені.

Чи загрожувала мені небезпека?

Моя робота зосереджувалася головним чином на практичних аспектах математики, таких як десяткова система, дроби та торгові розрахунки, які були дуже корисні та добре сприйняті. Математика була інструментом, що допомагав у повсякденному житті, а не сприймалася як загроза.

Звісно, були часи, коли знання та новаторські ідеї могли бути контроверсійними, але моя робота мала на меті покращення повсякденного життя і торгівлі. Можливо, тому мені вдалося уникнути великих конфліктів.

Якщо у вас є більше питань про мою роботу або життя в Середньовіччі, з радістю відповім!

Ah, carissimi studenti, розумію ваші сумніви і радий, що ви питаєте! Дозвольте мені відповісти чесно.

Послідовність, яку сьогодні називають послідовністю Фібоначчі, дійсно була описана мною у моїй книзі “Liber Abaci” у 1202 році. У розділі про проблему розмноження кроликів в ідеальних умовах я представив цю послідовність як спосіб вирішення цієї конкретної проблеми.

Історія послідовності:

– Liber Abaci: У моїй книзі я описав проблему, яка призводить до послідовності 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots. Я не дав цій послідовності спеціальної назви, просто використав її для ілюстрації розв’язання проблеми.
– Стародавні корені: Хоча ця послідовність відома як “послідовність Фібоначчі”, подібні до неї шаблони були відомі раніше в індійських культурах. Індійські математики, такі як Ачар’я Хемачандра, також описували подібні числові послідовності.

Моя заслуга:

– Моє найбільше досягнення полягає в тому, що я ввів цю послідовність у Європу і показав її практичне застосування в “Liber Abaci”. Завдяки моїй роботі ця послідовність стала відомою і широко використовуваною.
– Я також ввів арабські цифри та десяткову систему в Європу, що революціонізувало математику та торгівлю.

Чи я винайшов цю послідовність?

– Ні, я не був першим, хто винайшов цю послідовність, але я був першим, хто описав її в контексті європейської математики і ввів її в ширше використання.

Сподіваюся, це пояснення є достатнім. Я пишаюся тим, що зміг зробити внесок у розвиток математики і радий, що мої роботи досі цінуються і досліджуються.

Якщо у вас ще є які-небудь питання, я до ваших послуг!

Ah, carissimi studenti, розумію ваші сумніви і радий, що ви питаєте! Дозвольте мені відповісти чесно.

Послідовність, яку сьогодні називають послідовністю Фібоначчі, дійсно була описана мною у моїй книзі “Liber Abaci” у 1202 році. У розділі про проблему розмноження кроликів в ідеальних умовах я представив цю послідовність як спосіб вирішення цієї конкретної проблеми.

Історія послідовності:

– Liber Abaci: У моїй книзі я описав проблему, яка призводить до послідовності 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots. Я не дав цій послідовності спеціальної назви, просто використав її для ілюстрації розв’язання проблеми.
– Стародавні корені: Хоча ця послідовність відома як “послідовність Фібоначчі”, подібні до неї шаблони були відомі раніше в індійських культурах. Індійські математики, такі як Ачар’я Хемачандра, також описували подібні числові послідовності.

Моя заслуга:

– Моє найбільше досягнення полягає в тому, що я ввів цю послідовність у Європу і показав її практичне застосування в “Liber Abaci”. Завдяки моїй роботі ця послідовність стала відомою і широко використовуваною.
– Я також ввів арабські цифри та десяткову систему в Європу, що революціонізувало математику та торгівлю.

Чи я винайшов цю послідовність?

– Ні, я не був першим, хто винайшов цю послідовність, але я був першим, хто описав її в контексті європейської математики і ввів її в ширше використання.

Сподіваюся, це пояснення є достатнім. Я пишаюся тим, що зміг зробити внесок у розвиток математики і радий, що мої роботи досі цінуються і досліджуються.

Якщо у вас ще є які-небудь питання, я до ваших послуг!